CÁLCULO PROPOSICIONAL
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
· A lua é quadrada.
· A neve é branca.
· Matemática é uma ciência.
Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.
OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
· VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .
Exemplos: A lua é quadrada : p
A neve é branca : q
· CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :
Ù
:e
,Ú
:ou
,®
:se
...então
,«
:se e somente se
,~
:nãoExemplos:·
A lua é quadradae
a neve é branca. :p Ù q
(p e q são chamadosconjunctos
)· A lua é quadrada ou a neve é branca. : p Ú q ( p e q são chamados disjunctos)
· Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p ® q ( p é o antecedente e q o conseqüente)
· A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p « q
· A lua não é quadrada. : ~p
· SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;
Exemplos:
·
Se
a lua é quadradae
a neve é brancaentão
a luanão
é quadrada. :
((p Ù q) ® ~ p)
· A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. :
((~ p) «q))
· DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :
1. Todafórmula atômica
é uma fórmula.2. Se
A
eB
são fórmulas então
(A Ú B)
(A Ù B)
,(A ® B)
,(A « B)
e(~ A)
também são fórmulas.3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, Ú , Ù , ®, « .
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.
Exemplo: a fórmula p Ú q Ù ~ r ® p ® ~ q deve ser entendida como
(((p Ú q) Ù (~ r)) ® ( p ® (~ q)))
AS TABELAS VERDADE
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
· Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
· Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
· Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
p ~p V F F V2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros.
p q p Ù q V V V V F F F V F F F F3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.
p q p Ú q V V V V F V F V V F F F4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.
p q p ® q V V V V F F F V V F F V5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p « q V V V V F F F V F F F VExemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)
p q ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p) V V·NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p Ù q) ® r) terá 8 linhas como segue :
p q r ((p Ù q) ® r ) V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F VNOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo(disjunção) Ú ("vel") e exclusivo Ú ( "aut") onde p Úq significa ((p Ú q) Ù~ (p Ù q)).
p q ((p Ú q) Ù ~ (p Ù q)) V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F
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